Um novo estudo realizado por matemáticos da Freie Universität Berlin mostra que o ladrilho plano, também conhecido como mosaico, é muito mais do que uma técnica decorativa. A tesselação cobre uma superfície com uma ou mais formas geométricas sem lacunas ou sobreposições, e os pesquisadores demonstram que essas estruturas podem servir como ferramentas precisas para resolver problemas matemáticos complexos. As descobertas foram publicadas no artigo “Beauty in Mathematics: Tessellations and Their Formulas”, de Heinrich Beger e Dajiang Wang, e publicadas na revista Análise válida. A obra combina as ideias de análise complexa, equações diferenciais em derivadas parciais e teoria das funções geométricas.
No centro do estudo está o “princípio da reflexão do parquet”. Este método envolve mapear repetidamente formas geométricas ao longo de suas bordas para preencher um plano, criando padrões altamente ordenados e simétricos. Exemplos visuais famosos desse tipo de revestimento podem ser encontrados nas obras de MC Escher. Os pesquisadores mostram que, além do apelo visual, esses displays desempenham um papel prático na análise matemática. Eles podem ser usados, por exemplo, para resolver problemas clássicos de valores de contorno, como o problema de Dirichlet ou o problema de Neumann.
Beleza com estrutura e propósito
“Nossa pesquisa mostra que a beleza na matemática não é apenas um conceito estético, mas algo com profundidade estrutural e eficiência”, diz o professor Heinrich Beger. “Embora a pesquisa anterior sobre mosaicos tenha se concentrado principalmente em como as formas podem ser usadas para ladrilhar ou cobrir uma superfície – como alguns trabalhos famosos do ganhador do Nobel Sir Roger Penrose – usar o método de exibição em parquet para criar novos mosaicos abre novas possibilidades. É uma ferramenta prática para desenvolver maneiras de representar características nessas regiões de ladrilhos, o que pode ser útil em campos como física matemática e engenharia mecânica.”
Um dos principais resultados desta abordagem é a capacidade de derivar fórmulas exatas para as funções do kernel. Estes incluem os kernels de Green, Neumann e Schwartz, que são ferramentas importantes para resolver problemas de valores de contorno em física e engenharia. Vinculando padrões geométricos a fórmulas analíticas, o estudo une o pensamento visual intuitivo e a precisão matemática rigorosa.
Interesse crescente e aplicações em expansão
O princípio do mapeamento em parquet tem atraído cada vez mais atenção há mais de uma década e tornou-se particularmente popular entre os jovens investigadores. Desde a sua criação, quinze dissertações e teses da Freie Universität foram dedicadas a este tema, bem como sete dissertações adicionais de investigadores de outros países.
O método não se limita a espaços familiares planos ou euclidianos. Isto também se aplica às geometrias hiperbólicas comumente usadas na física teórica e nos modelos modernos de espaço-tempo. O interesse neste campo continua a crescer. No ano passado, Beger publicou um artigo na revista Complex Variables and Elliptic Equations intitulado “Tesselação hiperbólica: função harmônica de Green para o triângulo de Schweikart em geometria hiperbólica”, onde demonstrou como o princípio do mapeamento de parquet pode ser usado para construir a função harmônica de Green para o triângulo de Schweikart no plano hiperbólico.
“Esperamos que nossos resultados repercutam não apenas na matemática pura e na física matemática”, diz Dajiang Wang, “mas possam até inspirar ideias em áreas como arquitetura ou computação gráfica”.
A tradição dos azulejos em Berlim
Durante quase vinte anos, uma equipa de investigação liderada por Heinrich Beger, do Instituto de Matemática da Freie Universität Berlin, tem estudado o que é conhecido como “Berlin Mirror Tiles”. Esta abordagem baseia-se no princípio do mapeamento único, desenvolvido pelo matemático berlinense Hermann Amandus Schwartz (1843 a 1921).
Neste método, um polígono circular – uma figura cujas arestas são compostas por segmentos de linha reta e arcos circulares – é renderizado repetidamente até preencher todo o plano sem sobreposições ou lacunas. Essas construções se destacam visualmente, mas também permitem escrever representações integrais explícitas de funções que são importantes para resolver problemas complexos de valores de contorno.
“Certa vez, os matemáticos tiveram que usar um espelho de maquilhagem de três peças para criar uma sequência infinita de imagens”, diz Beger. “Hoje em dia, podemos usar programas de computador iterativos para obter o mesmo efeito – e podemos complementar isso com fórmulas matemáticas precisas usadas em análises complexas.”
Triângulos de Schweikart e geometria hiperbólica
O mosaico em espaços hiperbólicos é particularmente impressionante, mas também particularmente difícil de analisar. Esses padrões geralmente aparecem dentro de um disco circular e requerem ferramentas matemáticas sofisticadas. Um conceito-chave neste campo é o “triângulo de Schweikart”, um tipo especial de triângulo com um ângulo reto e dois ângulos zero. Nomeado em homenagem ao matemático amador e professor de direito Ferdinand Kurt Schweikart (de 1780 a 1857).
Os triângulos de Schweikart permitem aos matemáticos quebrar completa e regularmente um disco circular. Os padrões resultantes são visualmente impressionantes e podem inspirar designers em áreas como computação gráfica e arquitetura. Ao mesmo tempo, os fundamentos matemáticos destas construções são muito desenvolvidos e requerem um trabalho analítico cuidadoso.
Matemática como ciência visual
As descobertas da equipe destacam um aspecto frequentemente esquecido da matemática. A matemática não é apenas uma disciplina abstrata focada em símbolos e equações. É também uma ciência visual onde a estrutura, a simetria e a estética desempenham um papel crucial. Quando combinadas com modernas ferramentas de visualização, softwares gráficos e técnicas digitais, essas ideias ganham ainda maior relevância e impacto prático.
