A compreensão da geometria natural dos cristais há muito fascina os cientistas, especialmente quando se estuda como os materiais se comportam em diferentes temperaturas e pressões. Uma questão fundamental nesta área é se os padrões que se formam quando a energia é reduzida são sempre curvados para fora – o que os cientistas chamam de convexos, o que significa que nenhuma parte da superfície desaba para dentro. Esta questão torna-se ainda mais interessante quando se olham para padrões em três dimensões, onde as coisas ficam mais complicadas.
Dr. da Universidade Estadual de Kennesaw. Emanuel Indre e Dr. da Universidade de Edimburgo. Aram Karaganyan aceitou este desafio estudando um conhecido problema matemático relacionado à formação de cristais. Suas descobertas, publicadas na revista Mathematics, examinam se os cristais se formam por meio do equilíbrio de energia – isto é, encontrando a forma mais eficiente para uma determinada massa – e adquirem naturalmente formas convexas quando certas regras gerais são seguidas.
No centro do seu estudo está uma apresentação matemática detalhada – uma prova passo a passo – que mostra que, sob certas condições, as formas que consomem menos energia estão de facto concentradas em três dimensões. O Dr. Indre e o Dr. Karaganyan analisaram situações em que as forças envolvidas são igualmente empurradas para fora e a energia total está dentro de uma certa faixa. Eles descobriram que todas as formas ideais eram convexas ou pelo menos feitas de pequenas quantidades de material. Eles chegaram a essa conclusão usando resultados conhecidos sobre estabilidade obtidos por Indray e publicados recentemente na revista Calculus of Variations and Partial Differential Equations, ferramentas matemáticas que tratam de como uma forma resiste a mudanças, bem como como as mudanças na energia se relacionam com a forma.
Seus resultados são importantes porque ajudam a esclarecer quais tipos de forças e padrões de energia garantem formas cristalinas convexas. Suas descobertas mostram que nos casos em que as forças de arrasto são uniformes em todas as direções e a energia aumenta com a distância do centro – conhecido como simetria radial – sempre resultam em padrões convexos. Como explicaram os pesquisadores: “Nosso teorema implica convexidade para um grande conjunto de possibilidades; nosso argumento também cobre possibilidades não convexas”.
Uma parte particularmente interessante de seu trabalho é uma nova maneira de testar a convexidade, verificando se a forma dobra ou dobra. Os investigadores descobriram que, sob a suposição habitual sobre energia, se um cristal é plano num ponto, deve ser plano em toda a vizinhança – isto é, a forma não pode dobrar-se em algumas áreas e não noutras. Isto fornece uma ferramenta útil para prever quando e onde um cristal pode perder sua curvatura externa e fornece uma imagem mais clara de quão consistente é a forma.
Resumindo sua pesquisa, o Dr. Karaganyan apontou a importância da curvatura externa constante e da resistência a pequenas mudanças para objetos de pequena escala. Quando estes factores estão presentes, as formas formadas não só permanecem convexas como também não perdem a sua forma facilmente. Suas descobertas sugerem que as formas dos cristais seguem regras fundamentais mais regulares do que parecem. “Nossa nova ideia para o problema tridimensional de Almgren é usar um teorema de estabilidade… e uma primeira variação do EDP de energia livre com uma nova abordagem de princípio máximo”, disseram os pesquisadores.
Aqui, PDE refere-se a uma equação diferencial parcial, um tipo de equação frequentemente usada para descrever como quantidades físicas como energia ou calor mudam no espaço e no tempo. O princípio do máximo é uma regra matemática que ajuda a prever como uma função se comporta em determinados limites.
O estudo representa um passo importante na compreensão de como e por que os cristais formam padrões quando a energia é reduzida. Continua uma longa tradição de utilização da matemática para explicar o mundo físico – uma tradição que remonta a pioneiros como Gibbs e Curie. Esta nova pesquisa ajudará a orientar futuros estudos teóricos e esforços práticos para modelar e projetar materiais com formas e propriedades específicas.
Nota de diário
Indrei, E., Karakhanyan, A. “Sobre a forma tridimensional de um cristal.” Matemática, 2025; 13(614) DOI: https://doi.org/10.3390/math13040614
Indrei, E. “Forma de equilíbrio de um cristal.” Calc. Var. área. diferença Saman 2024, 63, 97. DOI: https://doi.org/10.1007/s00526-024-02716-6
Sobre os professores
Emmanuel Indré é professor assistente de matemática na Kennesaw State University. Ele recebeu seu Ph.D. em Matemática pela Universidade do Texas em Austin em 2013. Sua dissertação de doutorado foi selecionada para o Prêmio de Dissertação Frank Gerth III. Ele é bolsista NSF EAPSI de 2012, pós-doutorado na Australian National University, Huneke Postdoctoral Scholar no Mathematical Sciences Research Institute em Berkeley, CA, e PIRE Postdoctoral Associate na Carnegie Mellon University. Os principais temas de sua pesquisa são EDPs não lineares, problemas de limites livres e desigualdades geométricas e funcionais. Nos últimos anos, ele provou a conjectura da não interseção, resolveu o problema de Almgren em duas dimensões (bem como em uma dimensão) e fez progressos na conjectura de Paulia-Zeco para o primeiro autovalor do Laplaciano em polígonos.
Aram Karakanyan é professor associado de matemática na Universidade de Edimburgo, onde pesquisa equações diferenciais parciais não lineares e análise geométrica. Sua pesquisa inclui superfícies capilares e K, equação de Monge-Ampere, superfícies reflexivas, transições de fase e problemas de limites livres. Notavelmente, ele resolveu o problema do refletor de campo próximo, uma vez listado nos 100 Desafios Abertos de Yau, e tem um conhecimento avançado de problemas de barreira e elasticidade não linear. Suas contribuições estendem-se à teoria da coerência, explorando a regularidade dos minimizadores sob restrições complexas. Karaganyan recebeu vários subsídios plurianuais, incluindo bolsas EPSRC e um Prêmio Polonaise, e lidera equipes interdisciplinares que enfrentam desafios analíticos. Ele colabora regularmente internacionalmente e orienta estudantes de pós-graduação na vanguarda da análise matemática.
