A linguagem matemática da mecânica quântica depende de números complexos há quase um século, embora o seu fundador, Erwin Schrödinger, não se sentisse totalmente confortável com essa escolha. Números complexos são quantidades matemáticas que envolvem um componente imaginário e são amplamente utilizados em física para simplificar cálculos. Um novo estudo teórico revisita uma das primeiras ideias de Schrödinger e sugere que a mecânica quântica pode ser descrita usando apenas números reais, ou seja, números comuns sem partes imaginárias, reproduzindo todas as previsões de energia conhecidas. Proposta por Schrödinger em 1926, uma equação que envolve um grande número de modificações matemáticas revisita a equação de onda de quarta ordem, muitas vezes esquecida, e explora o seu significado físico e consequências práticas em termos claros.
O estudo foi conduzido pelo professor Nikos Makris da Southern Methodist University e pelo professor Gary Targush da University at Buffalo. Eles mostram que a equação matéria-onda original de quarta ordem de valor real de Schrödinger, a descrição matemática de como as partículas se comportam como ondas, leva aos mesmos valores de energia que a familiar equação de Schrödinger de valor complexo de segunda ordem ensinada nos livros didáticos hoje. No entanto, a equação de valor verdadeiro prevê valores de energia adicionais que refletem os conhecidos. O estudo foi publicado na revista revisada por pares Physics Open.
Segundo o professor Makris, a motivação para revisitar esta ideia vem diretamente dos escritos do próprio Schrödinger. Schrödinger, preocupado em confiar demais em números complexos, escreveu que “o uso da função de onda complexa” tem “uma certa grosseria”. Uma função de onda é uma ferramenta matemática que descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado local. Ele sugeriu que o estado físico de um sistema pode ser representado por um processo real e como ele muda ao longo do tempo. No presente estudo, os investigadores regressam a esta formulação inicial e testam o que ela prevê, mantendo-se fiéis ao raciocínio original de Schrödinger, utilizando ferramentas matemáticas modernas e métodos computacionais.
O professor Magris e o professor Targush mostram que a equação de quarta ordem reproduz com precisão os níveis de energia de sistemas quânticos bem conhecidos, incluindo o oscilador harmônico, um modelo simples comparado à massa de uma mola, com partículas confinadas em poços de energia simples. Um átomo composto por um próton e um elétron. Esses sistemas são frequentemente usados como exemplos fundamentais em física porque seu comportamento é bem compreendido. Para cada nível de energia positivo previsto pela equação padrão de Schrödinger, a versão com valor real produz um número negativo correspondente. Como explicou o professor Targush, “a equação de onda de matéria de valor real de 4ª ordem de Schrödinger… A de 2ª ordem de Schrödinger forma as equações exatas da equação de onda de matéria de valor complexo com um número igual de reflexões negativas.” Os autovalores aqui se referem aos valores de energia permitidos que um sistema quântico pode ter.
Para atingir este fim, o Professor Magris e o Professor Targush desenvolveram um quadro variacional, uma abordagem matemática que encontra soluções através da redução ou equilíbrio de quantidades, que transforma as equações de onda numa forma que só pode ser resolvida com números reais. Em termos simples, esta abordagem torna o problema semelhante aos cálculos já utilizados na engenharia e na física clássica. Estas equações são então resolvidas numericamente, ou seja, com a ajuda de computadores, utilizando um método que divide o problema em partes mais pequenas e manejáveis, permitindo aos computadores calcular resultados precisos mesmo quando o panorama energético muda abruptamente. Os resultados numéricos correspondem muito às soluções conhecidas, confirmando que a descrição de valor real funciona em uma variedade de sistemas quânticos.
Uma característica notável da equação de quarta ordem é que ela depende de como a paisagem energética muda de um lugar para outro, indicando como as forças que atuam sobre uma partícula variam no espaço, e não apenas na sua forma geral. A equação de Schrödinger comumente usada evita esse problema, tornando-a mais fácil de usar. O Professor Makris e o Professor Targush explicam que esta simplicidade tem um custo. Como observou o professor Magris, “a equação clássica de onda de matéria de valor complexo de 2ª ordem de Schrödinger… é uma descrição simplificada da onda de matéria porque não inclui derivadas espaciais do potencial às custas da perda de níveis negativos de energia espelhada.” As derivadas espaciais descrevem como uma quantidade muda com a posição, um conceito semelhante ao modo como a inclinação descreve as mudanças na inclinação de um penhasco.
O significado físico destes níveis de energia negativos ainda não está claro. O Professor Makris e o Professor Targush comparam esta situação aos problemas clássicos de ressonância na engenharia, onde as equações matemáticas muitas vezes prevêem soluções adicionais que não fazem sentido físico e são, portanto, ignoradas. Se os níveis negativos de energia quântica aqui previstos correspondem a efeitos físicos reais ou devem ser tratados da mesma forma, permanece uma questão em aberto que o estudo não tenta responder.
Em vez disso, o trabalho centra-se em mostrar que a matemática em si está correta e que os cálculos podem ser realizados de forma fiável. O estudo desafia a crença amplamente difundida de que os números complexos são necessários para a mecânica quântica, demonstrando que uma descrição totalmente baseada em números reais pode reproduzir todos os valores conhecidos de energia quântica. Chama a atenção renovada para uma questão que o próprio Schrödinger levantou, mas que acabou por ser posta de lado há quase cem anos.
Em conclusão, a equipe do professor Magris e do professor Targush desenvolveu a mecânica quântica não relativística, uma versão da teoria quântica que aplica a velocidade cotidiana em vez do movimento à velocidade da luz, permitindo uma descrição de valor real matematicamente completa e numericamente precisa. Embora a explicação dos níveis adicionais de energia do vidro permaneça sem solução, o estudo fornece uma base sólida para investigações futuras. Como afirmam os pesquisadores, “há uma explicação de valor real da mecânica quântica não relativística associada à existência de estados de energia espelhados negativos”, o que convida a uma nova discussão dos fundamentos matemáticos básicos da teoria quântica.
Nota de diário
Makris N., Dargush GF, “Uma descrição de valor real da mecânica quântica com a equação matéria-onda de 4ª ordem de Schrödinger.” Aberto de Física, 2025. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physo.2025.100262
Sobre os professores
Professor Nikos MakrisEspecialista reconhecido internacionalmente em engenharia estrutural de terremotos e mecânica-mecânica estrutural, ele é Professor do Centenário de Engenharia Civil da Família Audi na Southern Methodist University, Dallas, Texas. Makris recebeu seu Ph.D (1992) e Master of Science (1990) pela State University of New York em Buffalo, EUA; (1988) ao receber um Diploma em Engenharia Civil pela Universidade Técnica Nacional de Atenas, Grécia. Anteriormente, atuou no corpo docente da Universidade de Notre Dame, Indiana (1992-1996); Universidade da Califórnia, Berkeley (1996-2005); Universidade de Patras, Grécia (2003-2014) e Universidade da Flórida Central (2014-2018). Publicou mais de 140 artigos em revistas de arquivo, enquanto orientou 16 teses de doutoramento e mais de 40 teses de mestrado e de diploma de 5º ano. Trabalhou como editor da revistaTerremotos e Estruturas; Editor Associado para Presidente do Journal of Engineering Mechanics, ASCE e Dynamics Committee Na mesma edição. Ele é um membro Academia Europa “Academia da Europa”, um membro estrangeiro Academia Sérvia de Ciências e ArtesUm sujeito Sociedade Americana de Engenheiros Civis (ASCE) e um ilustre pesquisador visitante Academia Real de Engenharia, Reino Unido; Ao mesmo tempo, ele recebeu muitos prêmios, incluindo vários prêmios e prêmios internacionais Medalha de Controle Estrutural e Monitoramento George W. Hausner e o Medalha J. James R. Croce (duas vezes) ambos da ASCE, The Prêmio Walter L. Huber de Pesquisa em Engenharia Civil Da ASCE, o Prêmio TK Hsieh Instituição de Engenheiros Civis, Reino Unido, The Prêmio de Invenção da Família Shaw Earthquake Engineering Research Institute (EERI), EUA e The Prêmio Carreira Fundação Nacional de Ciência, EUA. Nos anos 2003-2009, o Prof. Makris atuou como Diretor da Reconstrução do Templo de Zeus na Antiga Nemea, Grécia: https://www.youtube.com/watch?v=LsxPSeWS52Q
Professor TargushEle é professor de Engenharia Mecânica e Aeroespacial (MAE) na State University of New York (UB), University at Buffalo, com especialização em mecânica teórica e computacional. Sua pesquisa abrange mecânica contínua de sólidos e fluidos, engenharia estrutural, otimização de projetos e física de engenharia, com ênfase recente em mecânica quântica para contínuos submícrons, onde ele co-desenvolveu a Teoria de Tensão Acoplada Constante (C-CST). É governado por um sistema de equações diferenciais parciais de quarta ordem, que, curiosamente, possui uma estrutura semelhante a 4.O Regular a teoria da mecânica quântica de Schrödinger. Outros trabalhos notáveis de Turkush incluem princípios variacionais de elementos finitos para sistemas dinâmicos, métodos de elementos de contorno para sistemas multifísicos e uma monografia seminal sobre sistemas de dissipação de energia passiva para controle sísmico de estruturas. No geral, seu programa de pesquisa, apoiado por doações da NSF, NASA, ONR, General Motors, Daimler-Benz e outros, produziu mais de cento e cinquenta artigos de periódicos de arquivo, três livros, vinte e sete dissertações de doutorado e quase dez mil citações do Google Scholar. Oito de seu doutorado. Os alunos ocupam cargos docentes em universidades de todo o mundo. Além disso, Targush atuou como Presidente do MAE (2008-2014) e Reitor Associado de Pesquisa e Pós-Graduação (2014-2017) da Escola de Engenharia e Ciências Aplicadas da UB.
