Por mais de 150 anos, uma ideia orientadora da geometria definiu a forma como os matemáticos pensam sobre as superfícies. O princípio, fundado pelo matemático francês Pierre Ossian Bonnet, afirma que se você conhecer duas propriedades principais de uma superfície compacta em cada ponto, sua curvatura métrica e média, então poderá determinar sua forma exata. Um novo resultado realizado por matemáticos da Universidade Técnica de Munique (TUM), da Universidade Técnica de Berlim e da Universidade Estadual da Carolina do Norte mostra que esta suposição nem sempre é verdadeira.
Para desafiar esta ideia de longa data, os investigadores construíram duas superfícies compactas e autónomas em forma de donut, conhecidas como tori. Essas duas superfícies têm os mesmos valores de curvatura métrica e média, mas sua estrutura geral não é a mesma. Tal exemplo tem sido procurado há décadas, mas ainda não foi encontrado.
Uma métrica descreve distâncias ao longo de uma superfície, ou seja, a distância entre dois pontos quando medidos ao longo da superfície. A curvatura média mostra como uma superfície se curva no espaço, mostrando se ela se curva para dentro ou para fora e em quanto.
Limites da regra de Bonnet para geometria de superfície
Os matemáticos já sabiam que a regra de Bonnet não se aplica a todas as situações. Exceções notáveis incluem superfícies não compactas que se estendem indefinidamente como um plano plano ou têm arestas onde terminam. Em contraste, pensava-se que as superfícies compactas, como as esferas, seguiam uma regra, com a curvatura métrica e média determinando completamente a sua forma.
Trabalhos anteriores mostraram que, para superfícies toroidais, um conjunto de valores de curvatura métrica e média pode corresponder a duas formas diferentes. No entanto, ninguém foi capaz de fornecer um exemplo claro e concreto para demonstrar tal possibilidade.
O contra-exemplo há muito procurado foi finalmente encontrado
O novo trabalho preenche essa lacuna. Ao construir um par de toros que coincidem em dimensões locais, mas diferem globalmente, a equipa forneceu o primeiro exemplo claro deste fenómeno.
“Depois de muitos anos de pesquisa, conseguimos pela primeira vez encontrar um caso específico que mostra que mesmo para superfícies fechadas como uma rosquinha, os dados de medição local não definem necessariamente uma única forma global”, diz Tim Hoffmann, Professor de Topologia Aplicada e Computacional na Escola de Computação, Informação e Tecnologia da TUM. “Isso nos permite resolver um problema de décadas de geometria diferencial de superfície.”
A descoberta resolve uma questão de longa data em geometria e destaca uma compreensão mais profunda. Mesmo com informações locais completas, a forma completa da superfície nem sempre pode ser determinada de forma inequívoca.
